第442章 或許這就是巧合吧

　　黎曼ζ函數是一元一次多項式的特殊情況。

　　不過，戴德金ζ函數和黎曼ζ函數一樣，可以用初等證明的方法，證明其滿足這一函數的前兩個條件。

　　想到這，陳舟的思維擴散開來。

　　戴德金ζ函數一個自然的推廣，是考慮多元多項式的情況。

　　而這里，就進入了代數幾何的領域。

　　多元多項式的零點，定義了一個幾何對象，也就是代數簇。

　　對代數簇的研究，便被稱之為代數幾何。

　　說起來，代數幾何雖然是一門古老的學科，但它也是在20世紀，才經歷了一次蔚為壯觀的發展。

　　20世紀初期，意大利學派對代數曲面的研究，有了長足的進展。

　　然而，其不嚴謹的基礎，促使奧斯卡·扎里斯基和安德烈·韋伊重構了整個代數幾何的基礎。

　　韋伊更是指出了代數幾何和數論與拓撲之間的驚人聯系。

　　在之后，被譽為代數幾何皇帝的格羅滕迪克，為了理解韋伊的猜想，更進一步用更抽象本質的方法，重新構建了代數幾何的基礎，并引進了一系列強大的工具。

　　特別是他的上同調理論，最終促使他的學生，也就是陳舟的三位審稿人之一的德利涅教授，完整的證明了韋伊猜想。

　　并因此，獲得了菲爾茲獎。

　　事實上，格羅滕迪克的上同調理論，根植于代數拓撲。

　　而且，格羅滕迪克同時構造了一系列上同調理論，它們具有非常類似的性質。

　　但卻起源于非常不同的構造。

　　格羅滕迪克試圖尋找出它們的共同本質，并由此提出了Motive理論。

　　這一理論并不完整，因為它基于一系列的猜想。

　　Motive理論也被格羅滕迪克稱之為標準猜想。

　　如果標準猜想被證明，那也就得到了完整的Motive理論。

　　它導出了所有上同調，同時能證明一系列表面無關的問題。

　　舉個例子，七大千禧難題之一的霍奇猜想的重要性，就在于它能導出標準猜想。

　　不得不說，標準猜想的證明，大概算是代數幾何里最要緊的事了。

　　但是，標準猜想的證明難度，卻又是頂級的。

　　真要比一下的話，從陳舟的角度來看，標準猜想的難度，得比哥猜高一個等級。

　　收回思緒，陳舟回到眼前的草稿紙上，拿起筆，開始寫到：

　　關于MotivicL函數和自守L函數，每一個MotivicL函數，都是由Motivic給出的。

　　對于這些函數，很容易驗證其滿足黎曼ζ函數的第一個條件，但是第二個條件，還無法證明一般的情況。

　　一個已知例子是，有理數上橢圓曲線的情形，也就是費馬大定理的證明的一個推論（谷山志村猜想）。

　　陳舟記得在文獻上看到過，這個谷山志村猜想的完整情形，是在2001年，由懷爾斯教授的幾位學生證明。

　　不得不說，懷爾斯教授的學生在面對費馬大定理的推論時，都有buff加成。

　　陳舟在谷山志村猜想旁邊，做了個標記，便繼續寫到：

　　對于幾乎所有L函數，第三個條件，也就是黎曼假設，都是未知的。

　　唯一的例外是Motive在有限域的情形，此時L函數滿足黎曼假設的條件，正是韋伊猜想。

　　陳舟又在韋伊猜想旁邊，寫下了“德利涅”三個字。

　　雖然看似這里面的問題，被解決了不少。

　　但實際上，尚未解決的問題，才是真正的龐大。

　　對于對于MotivicL函數的特殊值的問題，現在普遍的研究認為，需要Motive的一個推廣。

　　這是一個更加龐大，也更加遙遠的夢想。

　　數學家們把它稱為mixedmotive。

　　它的存在能夠推導出一系列及其漂亮的等式，推廣歐拉對于黎曼ζ的公式。

　　著名的貝林森猜想，七大千禧難題之一的BSD猜想等，都屬于可以被推導之列。

　　從某種程度來說，mixedmotive可以和標準猜想相媲美，甚至于超過了標準猜想。

　　因為目前的數學界，還不知道如何去構造它罷了。

　　當然，目前的數學界雖然無法構造mixedmotive，卻能夠構造它的一個弱化變形，也就是導出范疇。

　　俄羅斯數學家弗拉基米爾·沃埃沃德斯基，就是因為給出了這樣一個構造，從而獲得了2002年的菲爾茲獎。

　　想到這，陳舟的內心憧憬無比，這要是解決了標準猜想，再構造出mixedmotive理論。

　　那自己能拿多少個菲爾茲獎？

　　自己怕不是會成為第一個拿獎，拿到億萬富翁的數學家？

　　但很快，陳舟就清醒了。

　　都沒到晚上睡覺呢，還是先不做夢了。

　　老老實實，腳踏實地的，一步一步做好自己的研究，才是最主要的。

　　不再多想的陳舟，繼續在草稿紙上梳理這個課題所牽涉的研究內容。

　　每一個Motive都能給出一系列伽羅瓦群的表示以及復幾何中的霍奇結構，它們完全決定了L函數，因而考慮它們是更根本的問題…

　　事實上，Motive是比L函數更本質的存在，但是很難直接計算它。

　　替代的辦法是考慮Motive的不同表達。

　　從已有的例子來看，類域論已經解決了交換伽羅瓦群的情形。

　　也就是說，一個簡單，但卻根本的想法，是群的表示比群本身更加基本。

　　因而需要考慮的不是伽羅瓦群本身，而是它的表示。

　　這樣所有的交換伽羅瓦群，就等價于一維的伽羅瓦表示，而非交換的就等價于高維的表示。

　　想到這，陳舟微微皺眉，他把電腦打開，開始查找文獻資料。

　　按照這個思路來看的話，就必須必須考慮它們的內在對稱性。

　　可令人驚訝的是，這些對稱性很大程度上來源于一類完全不同的數學對象，也就是自守形式。

　　自守形式的起源可以追溯到19世紀，數學大神龐加萊是這一方向的先驅者。

　　陳舟手速飛快的在電腦上，輸入想要查找的內容。

　　再一一把文獻下載下來。

　　原本打算回來待一會，就去吃飯的陳舟，就這樣，不知不覺的陷入了數學的世界之中。

　　這段話寫完后，陳舟拿筆把戴德金ζ函數畫了個圈，習慣性拿筆在旁邊點了幾下。

　　然后，在這個圈的旁邊，寫下了黎曼ζ函數。

　　那陳舟也不會在意，相反，還會去恭喜這位諾特學姐。

　　畢竟數學研究這種事，沒有什么是一定的。

　　輕輕放下這張草稿紙，陳舟把背包拿開，坐在椅子上。

　　也許等到哥猜解決后，陳舟才會把它的優先級提起來。

　　誠如諾特所言，這里面的一系列問題，簡直太令人神往了。

　　對于每一個一元多項式，我們可以定義L函數，它們通常叫做戴德金ζ函數…

　　“這個諾特學姐，倒真會找課題…”

　　“或許，這就是巧合吧？”

　　陳舟拿起這張草稿紙，前后看了一遍，無奈的搖了搖頭。

　　然后找到一張新的草稿紙，拿起筆，開始梳理這個課題所牽涉的研究內容。

　　當然，這個課題的優先級是遠遠低于哥猜的研究和膠球實驗課題的。

　　除非是楊依依和自己一起研究，其他人，陳舟都會不習慣。

　　至于這個課題，要是被諾特和她的導師捷足先登了。

　　這也是陳舟在阿廷教授說要給他布置子課題進行研究時，略顯遲疑的原因。

　　相比于阿廷教授的子課題，對“伽羅瓦群的阿廷L函數的線性表示”進行研究，會更有趣。

　　那陳舟就只有拒絕了。

　　倒不是陳舟覺得合作不好，只是他現在更喜歡獨立的進行研究。

　　尤其是這種感興趣的課題。

　　要不是課題撞車，陳舟或許還會多考慮一下。

　　可自己感興趣的課題，居然還被人邀請一起研究。

　　回到宿舍的陳舟，把背包仍在椅子上，伸手翻開了一頁草稿紙。

　　草稿紙上，所寫的內容，如果那位諾特學姐在的話，一定驚呼出聲。

　　因為，這也草稿紙的內容，就是關于“伽羅瓦群的阿廷L函數的線性表示”的研究內容。